Sei
ein Punkt der Kurve. Wenn
ist, so muss auch
sein. Da dies keinem Punkt der Kurve entspricht, folgt, dass die Kurve von
und
überdeckt wird. Daher können wir mit den inhomogenen Kurvengleichungen in diesen beiden affinen offenen Mengen arbeiten.
. Wir setzen
und erhalten die Gleichung
.
Die partiellen Ableitungen sind
-
Wir müssen schauen, ob es Punkte auf der Kurve gibt, wo diese beiden Ableitungen verschwinden. Diese beiden Gleichungen sind nur bei
simultan erfüllbar, doch das ist kein Punkt der Kurve.
. Wir setzen
und erhalten die Gleichung
.
Die partiellen Ableitungen sind
-
Da wir die Punkte mit -Koordinate schon abgehandelt haben, können wir
annehmen. Dann hat man die Kurvenbedingung und die zweite Ableitungsbedingung, also
.
Daraus folgt aber
und somit
,
was aber keine Lösung ist. Die Kurve ist also auch in diesen Punkten glatt.