Projektiver Raum/Fq/Zeta-Funktion/Beispiel

Der ${}n$-dimensionale projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{{\mathbb {F} }_{q}}^{n}$ über dem endlichen Körper ${}{\mathbb {F} }_{q}$ besitzt ${}1+q+q^{2}+\cdots +q^{n}$ Elemente, siehe Aufgabe, somit ist

${}N_{r}=1+q^{r}+q^{2r}+\cdots +q^{rn}\,.$

Es ist

${}Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)(1-q^{2}t)\cdots (1-q^{n}t)}}\,.$

Dies bestätigt man, indem man beidseitig den Logarithmus anwendet. Es ist also

${}\sum _{r=1}^{\infty }N_{r}{\frac {t^{r}}{r}}=\sum _{r=1}^{\infty }(1+q^{r}+q^{2r}+\cdots +q^{rn}){\frac {t^{r}}{r}}=\sum _{i=0}^{n}\ln {\frac {1}{1-q^{i}t}}\,$

zu zeigen. Mit der Logarithmusreihe ist aber für jedes ${}i$

${}\ln {\frac {1}{1-q^{i}t}}=-\ln \left(1-q^{i}t\right)=-\sum _{r=1}^{\infty }(-1)^{r+1}{\frac {(-q^{i}t)^{r}}{r}}=\sum _{r=1}^{\infty }q^{ir}{\frac {t^{r}}{r}}\,.$