Wir wollen die
Weildivisoren
und die
Divisorenklassengruppe
des projektiven Raumes über einem Körper verstehen
().
Wir betrachten die disjunkte Zerlegung
-
d.h. wir fixieren die
Hyperebene
-
im „Unendlichen“. Ein
Primdivisor
des projektiven Raumes stimmt also entweder mit der Hyperebene rechts überein oder sie schneidet den affinen Raum links nichtleer und kann als ein Primideal der Höhe im Polynomring aufgefasst werden. Jede Funktion des Funktionenkörpers lässt sich
(bis auf Skalierung und kürzen)
eindeutig als
mit Polynomen
schreiben. Mit den Primfaktorzerlegungen zu
und
kann man direkt
-
(mit einer Konstanten
und
)
schreiben und daraus den Hauptdivisor zu ablesen, sofern er such auf die Komponenten im affinen Raum bezieht. Die
(„unendlich ferne“)
Ordnung von an ergibt sich folgendermaßen. Der lokale Ring zu diesem Primdivisor ist
Man schreibt
(bzw. oder ),
indem man überall durch ersetzt. Dies betrachtet man als rationale Funktion über dem Körper in der einen Variablen . Der
(typischerweise negative)
Grad bezüglich ist die Ordnung.
Beispielsweise ist bei
-
und die Ordnung ist . Da jeder Weildivisor mit einem Hauptdivisor auf dem affinen Raum wegen der Faktorialität des Polynomringes übereinstimmt, ist jeder Weildivisor
linear äquivalent
zu einem Divisor der Form mit
(die Klasse zu nennt man auch die Hyperebenenklasse.).
Ein solcher Divisor ist aber bei
kein Hauptdivisor, da ein solcher Hauptdivisor auf dem affinen Raum trivial ist und daher von einer Konstanten herrühren muss. Eine solche besitzt aber auch im Unendlichen die Ordnung . Die Divisorenklassengruppe des projektiven Raumes ist also , als Erzeuger kann man jede Hyperebene nehmen.