Projektiver Raum/O(n)/Sehr ampel/Beispiel

Auf dem projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{R}^{n}$ über einem kommutativen Ring ${}R$ sind die invertierbaren Garben ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(k)$ für ${}k\geq 1$ sehr ampel. Es ist

${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(k)\right)}=R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{k}\,$

und wir betrachten das durch sämtliche Monome aus ${}R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ vom Grad ${}k$ erzeugte lineare System und den zugehörigen Morphismus

$\varphi \colon {\mathbb {P} }_{R}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{R}^{m},$

wobei ${}m$ die Anzahl dieser Monome weniger ${}1$ bezeichne. Auf ${}D_{+}(X_{0})={\left({\mathbb {P} }_{R}^{n}\right)}_{X_{0}^{k}}$ ist die Abbildung durch

${{\mathbb {A} }_{R}^{n}}\longrightarrow D_{+}(Y_{\nu })\subseteq {\mathbb {P} }_{R}^{m},\,\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\,\ldots ,\,{\frac {X_{n}}{X_{0}}}\right)\longmapsto \left({\frac {X^{\mu }}{X_{0}^{k}}},\,\mu {\text{ Monom vom Grad }}k{\text{ in }}n+1{\text{ Variablen}}\right)$

gegeben (und entsprechend auf den anderen ${}D_{+}(X_{i})$). Auf der Ebene der Polynomringe ist dies der Einsetzungshomomorphismus

$R[S_{\mu },\,\mu \in I_{k}]\longrightarrow R[T_{1},\ldots ,T_{n}],\,S_{\mu }\longmapsto T^{\mu },$

wobei ${}I_{k}$ die Indexmenge aller Monome in ${}n$ Variablen vom Grad ${}\leq k$ (!) bezeichnet. Diese Abbildung ist surjektiv und somit liegt eine abgeschlossene Einbettung vor.

Bei ${}k\leq 0$ und ${}n\geq 1$ sind die ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(k)$ nicht sehr ampel.