Projektiver Raum/R/Tangentialgarbe/Fakt/Beweis

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt durch Dualisieren. Der Zusatz folgt ebenfalls aus Fakt: Das Element ${}X_{i}e_{j}$ in der ${}j$-ten Komponente von ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(1)^{\oplus n+1}$ entspricht beim Dualisieren der Abbildung

$X_{i}\circ p_{j}\colon {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(-1)^{\oplus n+1}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}},$

also der Projektion auf die ${}j$-te Komponente gefolgt von der Multiplikation mit ${}X_{i}$. Dies entspricht wiederum, aufgefasst als Linearform auf dem Modul der Kähler-Differentialformen ${}\Omega _{{\mathbb {P} }_{R}^{n}{|}R}\subseteq {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(-1)^{\oplus n+1}$, der Linearform, die zur Derivation ${}f\mapsto X_{i}{\frac {\partial f}{\partial X_{j}}}$ gehört.

Zur bewiesenen Aussage