Punktierte Ebene/Maximales Ideal/Kurze exakte Sequenz/Aufgabe

Wir betrachten zu ${}R=K[X,Y]$ die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R^{2}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,(X,Y)={\mathfrak {m}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

wobei hinten die Standardvektoren auf die Idealerzeuger gehen und vorne die ${}1$ auf ${}(Y,-X)$ abgebildet wird. Dies führt nach Fakt zu einer exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}^{2}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widetilde {\mathfrak {m}}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Es sei ${}U=D(X,Y)$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es ist ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}\right)}=R$.
2. Es ist ${}\Gamma {\left(U,{\widetilde {\mathfrak {m}}}\right)}=R$.
3. Die Auswertung der exakten Garbensequenz auf ${}U$ ist

   $0\longrightarrow R\longrightarrow R^{2}\longrightarrow R,$

   wobei die hintere Abbildung nicht surjektiv ist.

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