Punktierte affine Gerade/Potenzieren/Etale/Beispiel

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und

${}{\mathbb {A} }^{\times }={\mathbb {A} }^{1}\setminus \{0\}\,$

die punktierte affine Gerade, also die affine Gerade ohne das maximale Ideal ${}(X)$. Für jede natürliche Zahl ${}n\geq 1$, die kein Vielfaches der Charakteristik von ${}K$ ist, ist die Abbildung

${\mathbb {A} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {A} }^{\times },\,x\longmapsto x^{n},$

(die dem Einsetzungshomomorphismus zu $X\mapsto X^{n}$ entspricht) eine endliche étale Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der Ableitung von ${}X^{n}$, da sich aus ${}nX^{n-1}dX=0$ direkt ${}dX=0$ in ${}\Omega _{{\mathbb {A} }^{\times }{|}{\mathbb {A} }^{\times }}$ ergibt.

Die Automorphismengruppe dieser Überlagerung entspricht den ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}K$, wobei eine solche Einheitswurzel ${}\zeta$ auf ${}{\mathbb {A} }^{\times }$ durch ${}x\mapsto \zeta x$ wirkt, und ist daher zu ${}\mathbb {Z} /(n)$ isomorph.