Punktierte komplexe Zahlen/Analytische Fortsetzung/Logarithmus/Beispiel
Wir betrachten die riemannsche Fläche
Zur komplexen Exponentialfunktion
gibt es lokal Umkehrfunktionen, die komplexe Logarithmen heißen. Die Existenz folgt aus dem Satz über die Umkehrabbildung oder aus der lokalen Existenz für Stammfunktionen zu . Auf einer offenen Teilmenge unterscheiden sich zwei Logarithmen um ein additives Vielfaches von . Im Punkt ist die Potenzreihe
die Taylorreihe eines Logarithmus mit Konvergenzradius . Diese Potenzreihe lässt sich auf einfach zusammenhängendes eindeutig fortsetzen, aber nicht auf . Die Fortsetzung auf nennt man auch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus.
Nach Fakt (mit ) gehen die verschiedenen Logarithmen in einem Punkt auseinander durch analytische Fortsetzung hervor. Mit jeder Umdrehung des Nullpunktes erreicht man eine Verschiebung des Logarithmus um .