Punktsymmetrische Funktion/Nullpunkt kritisch/Extrema/Aufgabe/Lösung

a) Wir zeigen, dass im Nullpunkt sämtliche Richtungsableitungen verschwinden. Dazu sei ${}v\in \mathbb {R} ^{n},\,v\neq 0$, und ${}G=\mathbb {R} v$ die zugehörige Gerade durch den Nullpunkt. Die Richtungsableitung in Richtung ${}v$ kann man allein auf dieser Geraden bestimmen. Mit ${}P\in G$ ist auch ${}-P\in G$. Die Voraussetzung überträgt sich also auf die Gerade und wir können annehmen, dass eine differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit der gegebenen Symmetrieeigenschaft vorliegt. Nach der eindimensionalen Kettenregel ist

${}f'(P)=(P\mapsto f(P))'=(P\mapsto f(-P))'=-f'(-P)\,.$

Für ${}P=0$ ist somit

${}f'(0)=-f'(0)\,$

und daher ist

${}f'(0)=0\,.$

b) Sei

${}f(x)=-x^{2}\,.$

Diese Funktion hat überall negative Werte und nur im Nullpunkt den Wert ${}0$, es liegt also ein isoliertes globales Maximum vor. Offenbar ist ${}f(x)=f(-x)$.

c) Sei

${}f(x,y)=xy\,.$

Diese Funktion hat auf der durch ${}y=x$ gegebenen Diagonalen ein isoliertes Minimum und auf der durch ${}y=-x$ gegebenen Nebendiagonalen ein isoliertes Maximum. Insgesamt liegt also kein Extremum vor. Auch hier ist

${}f(x,y)=xy=(-x)(-y)=f(-x,-y)$.

Zur gelösten Aufgabe