Pythagoreische Tripel/Parametrische Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}(x,y,z)$ ein pythagoreisches Tripel. Der Fall ${}z=0$ ist ausgeschlossen. Dann ist ${}\left({\frac {x}{z}},\,{\frac {y}{z}}\right)$ ein Punkt auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten. Nach Fakt gibt es, da ${}z\neq -x$ vorausgesetzt wurde, eine eindeutig bestimmte rationale Zahl ${}t$ mit

${}\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\,{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)=\left({\frac {x}{z}},\,{\frac {y}{z}}\right)\,.$

Dann gibt es eine rationale Zahl ${}q\neq 0$ mit

$x=q(1-t^{2}),\,y=q2t,\,z=q(1+t^{2}).$

Sei ${}t={\frac {u}{v}}$ mit ganzen teilerfremden Zahlen ${}u,v$, ${}v>0$. Wir ersetzen ${}q$ durch

${}{\tilde {q}}={\frac {q}{v^{2}}}\,$

und haben dann

$x={\tilde {q}}(v^{2}-u^{2}),\,y={\tilde {q}}2uv,\,z={\tilde {q}}(u^{2}+v^{2}).$

Da ${}u$ und ${}v$ teilerfremd sind, sind auch ${}u,v,v^{2}-u^{2}$ paarweise teilerfremd. Ein Primteiler des Nenners von ${}{\tilde {q}}$ teilt ${}2uv$ und ${}v^{2}-u^{2}$. Daher kommt nur ${}2$ in Frage. In diesem Fall wären aber ${}v^{2}-u^{2}$ und ${}u^{2}+v^{2}$ gerade, und ${}u$ und ${}v$ wären beide ungerade. Dann wäre aber ${}y={\tilde {q}}2uv$ ungerade im Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist ${}{\tilde {q}}$ eine ganze Zahl.

Wenn das pythagoreische Tripel primitiv ist, so muss in dieser Darstellung ${}{\tilde {q}}=1$ oder ${}-1$ sein. Außerdem können dann ${}u$ und ${}v$ nicht beide ungerade sein, sonst wäre ${}2$ ein gemeinsamer Teiler des Tripels. Wenn umgekehrt diese Bedingungen erfüllt sind, so ist das Tripel primitiv.

Zur bewiesenen Aussage