Q/q auf b^q/Gleichmäßig stetig auf Intervall/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten Intervalle der Form ${}[-n,n]$ mit ${}n\in \mathbb {N}$. Aufgrund der Monotonie ist

${}b^{q}\leq m:={\max {\left(b^{n},b^{-n}\right)}}\,$

für alle ${}q\in [-n,n]$. Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Die Folge ${}{\left(b^{1/k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ konvergiert nach Aufgabe gegen ${}1$, daher gibt es insbesondere ein ${}k$ derart, dass

${}\vert {b^{1/k}-1}\vert \leq {\frac {\epsilon }{m}}\,$

ist. Wir setzen ${}\delta =1/k$. Dann gelten für zwei beliebige rationale Zahlen ${}q,q'\in [-n,n]$ mit

${}\vert {q'-q}\vert \leq \delta \,$

unter Verwendung der Funktionalgleichung die Abschätzungen (wir beschränken uns auf den Fall ${}b\geq 1$ und ${}q'\geq q$)

${}\vert {b^{q'}-b^{q}}\vert =\vert {{\frac {b^{q'}}{b^{q}}}-1}\vert \cdot b^{q}\leq \vert {b^{q'-q}-1}\vert \cdot m\leq {\frac {\epsilon }{m}}\cdot m=\epsilon \,.$

Zur bewiesenen Aussage