Wir betrachten den Ring
,
der aus allen komplexen Zahlen der Form
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besteht und ein Unterring des Ringes der Eisensteinzahlen ist. Letzterer Ring ist nach
Fakt
euklidisch und ein Hauptidealbereich. Dagegen gilt in noch nicht einmal die eindeutige Primfaktorzerlegung, es ist nämlich
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und in beiden Zerlegungen sind die Faktoren irreduzibel, da es in
(und im Eisensteinring)
keine Elemente mit Betragsquadrat . Im Ring der Eisensteinzahlen sind wegen
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die Faktoren zueinander
assoziiert,
aber nicht in , da es dort die Einheit nicht gibt. Das Ideal
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ist in kein
Hauptideal.