Quadratische Matrix/Rang/Invertierbar/Linear unabhängig/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz von (2), (3) und (4) folgt aus der Definition und aus Fakt.
Für die Äquivalenz von (1) und (2) betrachten wir die durch ${}M$ definierte lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n}.$

Die Eigenschaft, dass der Spaltenrang gleich ${}n$ ist, ist äquivalent zur Surjektivität der Abbildung, die aufgrund von Fakt äquivalent zur Bijektivität der Abbildung ist. Die Bijektivität ist nach Fakt äquivalent zur Invertierbarkeit der Matrix.

Zur bewiesenen Aussage