Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Verschiedene Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. ${}\varphi$ ist genau dann injektiv, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
2. ${}\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von ${}K^{m}$ bilden.
3. Bei ${}m=n$ ist ${}\varphi$ genau dann bijektiv, wenn die Spalten der Matrix eine Basis von ${}K^{m}$ bilden, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}M$ invertierbar ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen