Es seien
und
Basen von
bzw.
und es seien
die Spaltenvektoren von
. (1). Die Abbildung
hat die Eigenschaft
-

wobei
der
-te Eintrag des
-ten Spaltenvektors
ist. Daher ist
-

Dies ist genau dann
, wenn
für alle
ist, und dies ist äquivalent zu
-

Dafür gibt es ein nichttriviales
(Lösungs-)Tupel
genau dann, wenn die Spalten linear abhängig sind und genau dann, wenn der
Kern
von
nicht trivial ist. Dies ist gemäß
Fakt
äquivalent dazu, dass
nicht injektiv ist.
(2). Siehe
Aufgabe.
(3). Sei
.
Die erste Äquivalenz folgt aus (1) und (2). Wenn
bijektiv ist, so gibt es die
(lineare)
Umkehrabbildung
mit
-
Es sei
die Matrix zu
und
die Matrix zu
. Die Matrix zur Identität ist die
Einheitsmatrix.
Nach
Fakt
ist daher
-

und somit ist
invertierbar. Die Umkehrung wird ähnlich bewiesen.