Quadratische Zahlbereiche/Eisenstein-Zahlen und Z(Wurzel -3)/Euklidisch/Fakt/Beweis

Beweis

Wie dem Beweis zur Euklidizität der Gaußschen Zahlen zu entnehmen ist, ist für einen Unterring der komplexen Zahlen der Form ${}\Gamma =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} x$ (mit ${}x\notin \mathbb {R}$) die Norm eine euklidische Funktion genau dann, wenn sich zu jedem Element ${}z\in \mathbb {Q} (\Gamma )=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} x$ ein Element ${}u\in \Gamma$ findet, das zu ${}z$ einen Abstand kleiner als ${}1$ besitzt. Es sei zunächst ${}\Gamma =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {-3}}$. Das Element ${}\omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\in \mathbb {Q} (\Gamma )$ hat den minimalen Abstand zu den vier Gitterpunkten ${}(0,0),(-1,0),(0,{\sqrt {3}}),(-1,{\sqrt {3}})$, und dieser ist stets

${}\vert {\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\vert ={\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}}}=1\,.$

Für den Ring der Eisenstein-Zahlen ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ sind die Gittermaschen gleichmäßige Dreiecke mit Seitenlänge eins, und jede komplexe Zahl hat zu mindestens einem Gitterpunkt einen Abstand ${}<1$.

Zur bewiesenen Aussage