Quadratische Zahlbereiche/Normeuklidisch/Numerische Charakterisierung für negatives D/Fakt/Beweis

Beweis

(1) ${}\Rightarrow$ (3). Es sei ${}A_{D}$ euklidisch mit euklidischer Funktion ${}\delta$. Es sei ${}z\in A_{D}$, ${}z\neq 0$, keine Einheit, so gewählt, dass ${}\delta (z)$ unter allen Nichteinheiten den minimalen Wert annimmt. Für jedes ${}w\in A_{D}$ ist dann

$w=qz+r{\text{ mit }}r=0\,\,{\text{ oder }}\,\,\delta (r)<\delta (z).$

Wegen der Wahl von ${}z$ bedeutet dies ${}r=0$ oder ${}r$ ist eine Einheit. Wir betrachten die Restklassenabbildung

$\varphi \colon A_{D}\longrightarrow A_{D}/(z).$

Dabei ist ${}\varphi (w)=\varphi (r)$. Ab ${}\vert {D}\vert \geq 4$ gibt es nur die beiden Einheiten ${}1$ und ${}-1$, so dass das Bild von ${}\varphi$ überhaupt nur aus ${}0,1,-1$ besteht. Also ist nach Fakt

${}N(z)=\vert {A_{D}/(z)}\vert \leq 3\,$

Bei ${}D=2,3\mod 4$ hat nach Fakt jedes Element aus ${}A_{D}$ die Form ${}z=a+b{\sqrt {D}}$ ($a,b\in \mathbb {Z}$) mit Norm ${}N(z)=a^{2}+\vert {D}\vert b^{2}$. Damit ist (bei $\vert {D}\vert \geq 4$) ${}N(z)\leq 3$ nur bei ${}b=0$ und ${}\vert {a}\vert =1$ möglich, doch dann liegt eine Einheit vor, im Widerspruch zur Wahl von ${}z$. In diesem Fall verbleiben also nur die Möglichkeiten ${}D=-1,-2$.

Bei ${}D=1\mod 4$ hat nach Fakt jedes Element aus ${}A_{D}$ die Form ${}z=a+b{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ ($a,b\in \mathbb {Z}$) mit Norm ${}N(z)={\left(a+{\frac {b}{2}}\right)}^{2}+{\frac {\vert {D}\vert b^{2}}{4}}$. Damit ist bei ${}\vert {D}\vert \geq 12$ die Bedingung ${}N(z)\leq 3$ wieder nur bei ${}b=0$ und ${}\vert {a}\vert =1$ möglich, so dass erneut eine Einheit vorliegt. Es verbleiben die Möglichkeiten ${}D=-3,-7,-11$.

(3) ${}\Leftrightarrow$ (2). Der Ganzheitsring ${}A_{D}$ ist genau dann normeuklidisch, wenn es zu jedem ${}f\in \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ ein ${}z\in A_{D}$ mit ${}\vert {N(f-z)}\vert <1$ gibt. Dies bedeutet anschaulich, dass es zu jedem Punkt von ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\subseteq {\mathbb {C} }$ stets Gitterpunke aus ${}A_{D}$ gibt mit einem Abstand kleiner als eins Im Fall ${}D=2,3\mod 4$ ist ${}A_{D}=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ und es liegt ein rechteckiges Gitter vor, wobei der maximale Abstand im Mittelpunkt eines Gitterrechteckes angenommen wird. Der Abstand zu jedem Eckpunkt ist dort ${}{\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\frac {\vert {D}\vert }{4}}}}$, und dies ist nur für ${}D=-1,-2$ kleiner als eins.

Im Fall ${}D=1\mod 4$ wird die komplexe Ebene überdeckt von kongruenten gleichschenkligen Dreiecken, mit einer Grundseite der Länge eins und Schenkeln der Länge ${}{\frac {1}{2}}{\sqrt {1+{|D|}}}$, deren Eckpunkte jeweils Elemente aus ${}A_{D}$ sind. Der Punkt innerhalb eines solchen Dreiecks mit maximalem Abstand zu den Eckpunkten ist der Mittelpunkt des Umkreises, also der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Wir berechnen ihn für das Dreieck mit den Eckpunkten ${}(0,0),(1,0),{\left({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\right)}$. Die Mittelsenkrechte zur Grundseite ist durch ${}x={\frac {1}{2}}$ gegeben, und die Mittelsenkrechte zum linken Schenkel wird durch ${}{\left({\frac {1}{4}},{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{4}}\right)}+t{\left({\sqrt {\vert {D}\vert }},-1\right)}$ beschrieben. Gleichsetzen ergibt

${\frac {1}{4}}+t{\sqrt {\vert {D}\vert }}={\frac {1}{2}}\,\,{\text{ bzw. }}\,\,t{\sqrt {\vert {D}\vert }}={\frac {1}{4}}{\text{ und }}t={\frac {1}{4{\sqrt {\vert {D}\vert }}}}.$

Damit ist die zweite Koordinate gleich ${}{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{4}}-{\frac {1}{4{\sqrt {\vert {D}\vert }}}}$ und der gemeinsame Abstand zu den drei Eckpunkten ist die Wurzel aus

${}{\frac {1}{4}}+{\left({\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{4}}-{\frac {1}{4{\sqrt {\vert {D}\vert }}}}\right)}^{2}={\frac {1}{4}}+{\frac {\vert {D}\vert }{16}}+{\frac {1}{16\vert {D}\vert }}-{\frac {1}{8}}={\frac {1}{16}}{\left(2+\vert {D}\vert +{\frac {1}{\vert {D}\vert }}\right)}\,.$

Dies (und ebenso die Quadratwurzel) ist kleiner als ${}1$ genau dann, wenn ${}\vert {D}\vert +{\frac {1}{\vert {D}\vert }}<14$ ist, was genau bei ${}D>-13$ der Fall ist und den Möglichkeiten ${}D=-3,-7,-11$ entspricht.

(2) ${}\Rightarrow$ (1) ist trivial.

Zur bewiesenen Aussage