Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt/Beweis/Variante

Sei $x\in A_{D}$ gegeben. Dann ist einerseits $x=q+p{\sqrt {D}}$ mit $p,q\in {\mathbb {Q} }$ und andererseits ist $x$ ganz über $\mathbb {Z}$. Damit ist auch die Konjugation ${\bar {x}}$ ganz über $\mathbb {Z}$. Es folgt, dass sowohl die Norm $N(x)=x{\bar {x}}=q^{2}-Dp^{2}$ als auch die Spur $S(x)=x+{\bar {x}}=2q$ ganz über $\mathbb {Z}$ sind. Da sie zugleich rationale Zahlen sind folgt

$q^{2}-Dp^{2}\in {\mathbb {Z} }{\text{ und }}2q\in {\mathbb {Z} }\,.$

Aus der zweiten Gleichung folgt, dass $q=n/2$ ist mit $n\in \mathbb {Z}$. Sei $p=r/s$ mit $r,s$ teilerfremd und $s\geq 2$. Die erste Gleichung wird dann zu

$\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}-D\left({\frac {r}{s}}\right)^{2}=k\in \mathbb {Z} \,$

bzw.

$n^{2}-4D\left({\frac {r}{s}}\right)^{2}=4k\,.$

Dies bedeutet, da $r$ und $s$ teilerfremd sind, dass $4D$ von $s^{2}$ geteilt wird. Da ferner $D$ quadratfrei ist, folgt, dass $s=1$ oder $s=2$ ist. Im ersten Fall ist $n$ ein Vielfaches von $2$, da $\mathbb {Z}$ normal ist, sodass $x\in \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ ist.

Sei also $s=2$, was zur Bedingung

$n^{2}-Dr^{2}=4k\,$

führt. Wir betrachten diese Gleichung modulo $4$. Die einzigen Quadrate in $\mathbb {Z} /(4)$ sind $0$ und $1$, sodass für $D=2,3\mod 4$ keine Lösung existiert. Für $D=1\mod 4$ hingegen gibt es nur die Lösung $n=1\mod 4$ und $r=1\mod 4$. Diese Lösungen gehören alle zu ${\mathbb {Z} }\left[{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\right]$.

Die umgekehrte Inklusion $\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq A_{D}$ ist klar, sei also $D=1\mod 4$. Dann ist aber

$\left({\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\right)^{2}-2{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}={\frac {1+D+2{\sqrt {D}}-2-2{\sqrt {D}}}{4}}={\frac {D-1}{4}}\in \mathbb {Z} \,,$

sodass dies sofort eine Ganzheitsgleichung über $\mathbb {Z}$ ergibt.