Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Hauptdivisorberechnung/Beispiel

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich ${}R$ zu ${}D=-5$, also ${}R=A_{-5}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}+5)$, das Ideal

${}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})\,.$

Nach Beispiel ist dies kein Hauptideal. Wir wollen die Hauptdivisoren zu den beiden Idealerzeugern ${}2$ und ${}1+{\sqrt {-5}}$ berechnen. Der erste Schritt ist dabei, die Primideale oberhalb des Elementes zu bestimmen, was am einfachsten durch eine Restklassenbetrachtung geschieht. Der Restklassenring modulo ${}2$ ist

${}R/(2)=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}+5,2)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2}+5)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2}+1)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X+1)^{2}\,.$

Dies ist ein nichtreduzierter Ring mit nur einem maximalen Ideal. In der Lokalisierung ${}R_{(2,1+{\sqrt {-5}})}$ gilt

${}2={\frac {1}{\left(-2+{\sqrt {5}}\right)}}{\left(1+{\sqrt {-5}}\right)}^{2}\,,$

was zeigt, dass ${}1+{\sqrt {-5}}$ dort ein Erzeuger des maximalen Ideals ist und dass die Ordnung von ${}2$ dort gleich ${}2$ ist. Deshalb gilt

${}\operatorname {div} {\left(2\right)}=2{\mathfrak {p}}\,.$

Wegen

${}R/(1+{\sqrt {-5}})=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}+5,1+X)=\mathbb {Z} /(6)=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(3)\,$

ist ${}1+{\sqrt {-5}}$ auch noch im Primideal ${}{\mathfrak {q}}=(3,1+{\sqrt {-5}})$ enthalten und besitzt dort ebenfalls die Ordnung ${}1$. Daher ist

${}\operatorname {div} {\left(1+{\sqrt {-5}}\right)}={\mathfrak {p}}+{\mathfrak {q}}\,.$