Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Hauptideal nach Adjunktion von Wurzel(2)/Beispiel

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich ${}R$ zu ${}D=-5$ das Ideal ${}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})$, das nach Beispiel kein Hauptideal ist. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ (oder von ${}\mathbb {Z}$) im Erweiterungskörper ${}L=\mathbb {Q} [{\sqrt {-5}},{\sqrt {2}}]$ vom Grad vier über ${}\mathbb {Q}$. Wir haben also eine Kette

${}\mathbb {Z} \subset R\subset S\,$

von Zahlbereichen. Wir behaupten, dass das Erweiterungsideal

${}{\mathfrak {p}}S=(2,1+{\sqrt {-5}})S\,$

ein Hauptideal in ${}S$ ist, und zwar behaupten wir, dass ${}{\sqrt {2}}$ ein Idealerzeuger davon ist. Dazu betrachten wir zunächst das rationale Element ${}z={\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {-5}}}{2}}={\frac {1+{\sqrt {-5}}}{\sqrt {2}}}\in L$. Wegen

${}z^{2}={\left({\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {-5}}}{2}}\right)}^{2}={\frac {2-2\cdot 5+4{\sqrt {-5}}}{4}}=-2+{\sqrt {-5}}\in R\,$

erfüllt ${}z$ eine Ganzheitsgleichung über ${}R$ und gehört somit zu ${}S$ (ebenso, wenn im Zähler ein Minuszeichen steht). Die Gleichheit

${}{\mathfrak {p}}S=({\sqrt {2}})\,$

folgt einerseits aus

${}2={\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}\,$

und

${}1+{\sqrt {-5}}=z\cdot {\sqrt {2}}\,$

und andererseits aus

${}-{\sqrt {2}}\cdot 2+{\frac {1-{\sqrt {-5}}}{\sqrt {2}}}(1+{\sqrt {-5}})=-{\sqrt {2}}\cdot 2+{\frac {6}{\sqrt {2}}}=-{\sqrt {2}}\cdot 2+3\cdot {\sqrt {2}}={\sqrt {2}}(-2+3)={\sqrt {2}}\,.$