Quadratischer Zahlbereich/Ideal/Vereinfacht/Quadratische Form/Fakt/Beweis

Beweis

Die Norm ist eine quadratische Form auf ${}{\mathfrak {a}}$ mit Werten in ${}\mathbb {Z}$. Zu jedem Element ${}f\in {\mathfrak {a}}$ liegt ein surjektiver Restklassenhomomorphismus

$R/(f)\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}$

vor. Beide Restklassenringe sind nach Fakt endlich, und somit ist die Anzahl von ${}R/{\mathfrak {a}}$ ein Teiler der Anzahl von ${}R/(f)$. Diese Anzahlen sind aber nach Definition bzw. (bis auf das Vorzeichen) nach Fakt gleich ${}N({\mathfrak {a}})$ bzw. ${}N(f)$. Die Quotienten ${}{\frac {N(f)}{N({\mathfrak {a}})}}$ liegen also in ${}\mathbb {Z}$ und es liegt eine ganzzahlige quadratische Form vor. Diese ist nach Fakt binär.

Mit einer beliebigen ${}\mathbb {Z}$-Basis ${}s,t$ des Ideals ${}{\mathfrak {a}}$ ist die durch die Norm gegebene binäre quadratische Form durch die Werte ${}N(s),N(s+t),N(t)$ festgelegt, und zwar lautet die explizite Beschreibung

$N(s)X^{2}+(N(s+t)-N(s)-N(t))XY+N(t)Y^{2}.$

Mit der Konjugation gilt

${}N(s)=s{\overline {s}}\,,$

${}N(t)=t{\overline {t}}\,$

und

${}N(s+t)=(s+t){\overline {(s+t)}}=s{\overline {s}}+s{\overline {t}}+t{\overline {s}}+t{\overline {t}}\,.$

Somit ist der mittlere Koeffizient der quadratischen Form gleich

${}N(s+t)-N(s)-N(t)=s{\overline {t}}+t{\overline {s}}\,$

und die Diskriminate der quadratischen Form ist gleich

${}(s{\overline {t}}+t{\overline {s}})^{2}-4N(s)N(t)=(s{\overline {t}}-t{\overline {s}})^{2}\,.$

Wir ziehen nun die Basis ${}(a,b)$ des Ideals gemäß Fakt heran. Die Diskriminante ist dann

${}(a{\overline {b}}-{\overline {a}}b)^{2}=a^{2}({\overline {b}}-b)^{2}\,.$

Ja nach Fall ist die Klammer rechts gleich ${}2\beta {\sqrt {D}}$ bzw. gleich ${}2\beta \omega -\beta$. Im ersten Fall ist das Quadrat davon gleich ${}4\beta ^{2}D$. Im zweiten Fall ist das Quadrat davon gleich ${}\beta ^{2}(2\omega -1)^{2}=\beta ^{2}D$. Wenn man also die Norm durch die Norm des Ideals dividiert, die ja nach Fakt gleich ${}a\beta$ ist, so ergibt sich in beiden Fällen eine quadratische Form, deren Diskriminante gleich der Diskriminante des Zahlbereiches ist. Da die Diskriminante (bis eventuell auf den Faktor ${}4$) quadratfrei ist, folgt nach Aufgabe, dass die Form einfach ist.

Zur bewiesenen Aussage