Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Basis für Ideale/Fakt

Es sei ${}A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich mit Ganzheitsbasis ${}1,\omega$ (im Sinne von Fakt) und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}A_{D}$. Dann besitzt ${}{\mathfrak {a}}$ eine ${}\mathbb {Z}$-Basis aus zwei Elementen ${}a$ und ${}b$, wobei ${}a\in \mathbb {N}$ mit ${}(a)=\mathbb {Z} \cap {\mathfrak {a}}$ und

${}b=\alpha +\beta \omega \,$

mit

${}\beta =\min\{{|}{\tilde {\beta }}{|}:\,{\tilde {\alpha }}+{\tilde {\beta }}\omega \in {\mathfrak {a}},\,{\tilde {\beta }}\neq 0\}\,$

gewählt werden kann.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen