Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Basis für Ideale/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}a\in \mathbb {N}$ und ${}b=\alpha +\beta \omega$ wie im Satz beschrieben gewählt. Da ${}a$ und ${}\beta$ nicht ${}0$ sind folgt, dass ${}a$ und ${}b$ linear unabhängig über ${}\mathbb {Q}$ sind. Es bleibt also zu zeigen, dass jedes Element ${}{\tilde {\alpha }}+{\tilde {\beta }}\omega \in {\mathfrak {a}}$ sich als ${}n_{1}a+n_{2}b$ mit ${}n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z}$ schreiben lässt. Es gibt eine Darstellung

${}{\tilde {\alpha }}+{\tilde {\beta }}\omega =q_{1}a+q_{2}b=q_{1}a+q_{2}(\alpha +\beta \omega )=q_{1}a+q_{2}\alpha +q_{2}\beta \omega \,$

mit ${}q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q}$. Dann ist ${}{\tilde {\beta }}=q_{2}\beta$. Die Zahlen ${}\beta$ und ${}{\tilde {\beta }}$ beschreiben beide einen ${}\omega$-Koeffizienten von Elementen in ${}{\mathfrak {a}}$, und ${}\beta$ war betragsmäßig minimal gewählt, sodass ${}q_{2}$ ganzzahlig sein muss (alle ${}\omega$-Koeffizienten bilden ein Ideal in ${}\mathbb {Z}$). Wir ziehen in der obigen Gleichung ${}q_{2}b\in {\mathfrak {a}}$ ab und erhalten

${}q_{1}a={\tilde {\alpha }}+{\tilde {\beta }}\omega -q_{2}b={\tilde {\alpha }}+{\tilde {\beta }}\omega -q_{2}(\alpha +\beta \omega )={\tilde {\alpha }}-q_{2}\alpha \,,$

und dies gehört zu ${}\mathbb {Z} \cap {\mathfrak {a}}$. Also handelt es sich um ein ganzzahliges Vielfaches von ${}a$ und somit ist auch ${}q_{1}\in \mathbb {Z}$.

Zur bewiesenen Aussage