Quadratischer Zahlbereich/Norm von Idealen/Multiplikativität/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wenden Fakt wiederholt für Ideale an und erhalten

${}(N({\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}))=({\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}){\overline {({\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}})}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}{\overline {\mathfrak {a}}}{\overline {\mathfrak {b}}}={\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}{\mathfrak {b}}{\overline {\mathfrak {b}}}=(N({\mathfrak {a}}))(N({\mathfrak {b}}))=(N({\mathfrak {a}})N({\mathfrak {b}}))\,.$

Da die Norm eines Ideals stets positiv ist folgt aus dieser Idealidentität die Gleichheit ${}N({\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {a}})N({\mathfrak {b}})$.

Zur bewiesenen Aussage