Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Größer 1/Fakt/Beweis

Beweis

Die Einheitengruppe von ${}A_{D}$ ist nach Fakt isomorph zu ${}\{1,-1\}\times \mathbb {Z}$, alle Einheiten sind von der Form ${}\pm u^{n}$ mit ${}n\in \mathbb {Z}$ und einer Fundamentaleinheit ${}u$. Diese Beschreibung gilt auch in der Einbettung nach ${}\mathbb {R}$. Mit ${}u$ ist genauso ${}-u$ und ${}u^{-1}$ eine Fundamentaleinheit. Damit können wir ${}u>1$ annehmen. Zwischen ${}1$ und ${}u$ kann es keine weitere Einheit aus ${}A_{D}$ geben, da sie ja die Form ${}\pm u^{n}$ besitzt, was bei negativem Vorzeichen negativ ist und bei (positivem Vorzeichen und) ${}n\leq 0$ zwischen ${}0$ und ${}1$ liegt. Für ${}n\geq 2$ ist ${}u^{n}>u$.

Zur bewiesenen Aussage