Quadratischer Zahlbereich/Reell/Logarithmische Abbildung/Beispiel

Zu quadratfreiem ${}D\geq 2$ und zugehörigem reell-quadratischen Zahlbereich ${}A_{D}$ mit der Gitterrealisierung

$A_{D}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(a+b{\sqrt {D}})\longmapsto {\begin{pmatrix}a+b{\sqrt {D}}\\a-b{\sqrt {D}}\end{pmatrix}},$

(vergleiche Beispiel) ist die logarithmische Gesamtabbildung durch

$A_{D}\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,\,(a+b{\sqrt {D}})\longmapsto {\begin{pmatrix}\ln \vert {a+b{\sqrt {D}}}\vert \\\ln \vert {a-b{\sqrt {D}}}\vert \end{pmatrix}},$

gegeben. Diese induziert für die Einheiten den Gruppenhomomorphismus

$A_{D}^{\times }\longrightarrow \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,\,(a+b{\sqrt {D}})\longmapsto {\begin{pmatrix}\ln \vert {a+b{\sqrt {D}}}\vert \\\ln \vert {a-b{\sqrt {D}}}\vert \end{pmatrix}},$

wobei das Bild (wegen Fakt  (2) oder direkt) auf der Gegendiagonalen landet. Somit liegt ein Gruppenhomomorphismus ${}{\left(A_{D}^{\times },\cdot ,1\right)}\rightarrow (\mathbb {R} ,+,0)$ vor. Der Kern besteht aus ${}\{1,-1\}$ und das Bild ist eine diskrete Untergruppe von ${}\mathbb {R}$.