Quadratischer Zahlbereich/Reell/Gitter-Einbettung/Beispiel

Es sei ${}D\geq 2$ quadratfrei und ${}A_{D}\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]=K$ der zugehörige reell-quadratische Zahlbereich. Es sei ${}{\sqrt {D}}$ einerseits ein fixierte Quadratwurzel aus ${}D$ in ${}A_{D}$ und andererseits die positive reelle Quadratwurzel. Die Abbildung

$K\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(q_{1}+q_{2}{\sqrt {D}})\longmapsto {\begin{pmatrix}q_{1}+q_{2}{\sqrt {D}}\\q_{1}-q_{2}{\sqrt {D}}\end{pmatrix}},$

ist dann die reelle Gesamteinbettung und liefert insbesondere eine explizite Realisierung von ${}A_{D}$ als Gitter im Sinne von Fakt. Das Gitter hängt wie die Ganzheitsbasis für ${}A_{D}$ vom Rest von ${}D$ modulo ${}4$ ab, siehe Fakt.

Die Ganzheitsbasis ${}1,{\sqrt {D}}$ bei ${}D=2,3\mod 4$ bzw. ${}1,{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ bei ${}D=1\mod 4$ (vergleiche Fakt) wird unter der reellen Gesamteinbettung auf die reelle Ganzheitsmatrix

${\begin{pmatrix}1&{\sqrt {D}}\\1&-{\sqrt {D}}\end{pmatrix}}$

bzw.

${\begin{pmatrix}1&{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\\1&{\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}\end{pmatrix}}$

abgebildet.