Sei
.
Es ist
-
somit sind
und
zwei Elemente mit der Norm . Wir behaupten, dass jedes Element mit
zu einem der beiden Elemente assoziiert ist. Nach
Fakt
gilt
und somit liegt ein surjektiver Ringhomomorphismus
-
vor, wobei der Ring rechts nach
Fakt
Elemente besitzt. Ferner
ist. Dieser Ring ist also ein Produkt von zwei Körpern, und die beiden nichttrivialen Ideale sind die von
bzw.
erzeugten Ideale. Somit gilt in , dass und
(oder und )
das gleiche Ideal erzeugen. Dann wählt man jeweils Elemente
(bzw. ),
die in der ersten Komponente eine Einheit und in der zweiten sind und umgekehrt. Dann ist
-
oder
-
und die Behauptung folgt aus
Fakt.