Quadratisches Polynom/Diskriminante/Verträglich mit Operation/Aufgabe

Wir betrachten die Menge der quadratischen Polynome

$M={\left\{aX^{2}+bX+c\mid a,b,c\in K,\,a\neq 0\right\}}$

über einem Körper ${}K$, und es sei ${}G$ die Menge der Transformationen vom Typ ${}X\mapsto \alpha X+\beta$ mit ${}\alpha \neq 0$.

a) Zeige, dass ${}G$ auf ${}M$ in natürlicher Weise operiert.

b) Zeige, dass ${}G$ auf ${}K$ durch Multiplikation mit ${}\alpha ^{2}$ operiert.

c) Zeige, dass die Diskriminante, also der Ausdruck ${}b^{2}-4ac$, der einem quadratischen Polynom zugeordnet ist, ${}G$-verträglich bezüglich dieser beiden Operationen ist.

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