Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Variablenwechsel/1/Beispiel

Wir betrachten das quadratische Polynom

${}F=3X^{2}-4XY+5Y^{2}+6X+2Y-7\,.$

Wir müssen zunächst die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}3&-2\\-2&5\end{pmatrix}}\,$

diagonalisieren. Das charakteristische Polynom ist

${}(X-3)(X-5)-4=X^{2}-8X+11=(X-4)^{2}-5\,.$

Somit sind die Eigenwerte gleich

$x_{1}={\sqrt {5}}+4{\text{ und }}x_{2}=-{\sqrt {5}}+4.$

Eigenvektoren sind

${\begin{pmatrix}-2\\{\sqrt {5}}+1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}2\\{\sqrt {5}}-1\end{pmatrix}}.$

Daher bilden

${\frac {1}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{\begin{pmatrix}-2\\{\sqrt {5}}+1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {1}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{\begin{pmatrix}2\\{\sqrt {5}}-1\end{pmatrix}}.$

eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.