Quadratisches Reziprozitätsgesetz/1003 mod 4459/Aufgabe/Lösung

Die Zahlen ${}1003$ und ${}4459$ haben beide modulo ${}4$ den Rest ${}3$ . Somit ist

{}\left({\frac {1003}{4459}}\right)=-\left({\frac {4459}{1003}}\right)=-\left({\frac {447}{1003}}\right)\,.

Die Zahl ${}447$ hat ebenfalls den Rest ${}3$ modulo ${}4$ , also ist dies gleich

{}\left({\frac {1003}{447}}\right)=\left({\frac {109}{447}}\right)\,.

Die Zahl ${}109$ hat den Rest ${}1$ modulo ${}4$ , somit ist dies gleich

{}{\begin{aligned}\left({\frac {447}{109}}\right)&=\left({\frac {11}{109}}\right)\\&=\left({\frac {109}{11}}\right)\\&=\left({\frac {10}{11}}\right)\\&=\left({\frac {2}{11}}\right)\cdot \left({\frac {5}{11}}\right)\\&=\left({\frac {2}{11}}\right)\cdot \left({\frac {11}{5}}\right)\\&=\left({\frac {2}{11}}\right)\cdot \left({\frac {1}{5}}\right)\\&=\left({\frac {2}{11}}\right).\end{aligned}}

Wegen ${}2^{5}=32=-1\mod 11$ ist dies nach dem Euler-Kriterium

gleich

{}-1

.