Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Mit Begründungsfenstern/1

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.

$\left({\frac {53}{311}}\right)$	=$53$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$. || $\left({\frac {311}{53}}\right)$ ||
	=Reduktion des Zählers. || $\left({\frac {46}{53}}\right)$ ||
	=Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz. || $\left({\frac {2}{53}}\right)$ $\left({\frac {23}{53}}\right)$ ||
	=$53=5\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $53$. || $-\left({\frac {23}{53}}\right)$ ||
	=$53$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$.	$-\left({\frac {53}{23}}\right)$
	=Reduktion des Zählers. || $-\left({\frac {7}{23}}\right)$ ||
	=$7$ und $23$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$. || $\left({\frac {23}{7}}\right)$ ||
	=Reduktion des Zählers. || $\left({\frac {2}{7}}\right)$ ||
	=$7=-1\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ ein Quadratrest modulo $7$ (oder direkt $3^{2}=2\mod 7$). || $1$ ||

Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$.