Quadratwurzel/Durchschnittswert/1 bis 4/Vergleich/Aufgabe/Lösung

Es ist

{}{\begin{aligned}\int _{1}^{4}{\sqrt {x}}dx&=\int _{1}^{4}x^{\frac {1}{2}}dx\\&={\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}|_{1}^{4}\\&={\frac {2}{3}}{\left(4^{\frac {3}{2}}-1^{\frac {3}{2}}\right)}\\&={\frac {2}{3}}{\left(8-1\right)}\\&={\frac {14}{3}}.\end{aligned}}

Der Durchschnittswert ist also

{}{\frac {14}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {14}{9}}\,.

Das arithmetische Mittel von ${}1$ und ${}4$ ist ${}{\frac {5}{2}}$ , die Wurzel davon ist ${}{\sqrt {\frac {5}{2}}}$ . Wegen

{}{\left({\frac {14}{9}}\right)}^{2}={\frac {196}{81}}<{\frac {200}{80}}={\frac {5}{2}}\,

ist

{}{\frac {14}{9}}<{\sqrt {\frac {5}{2}}}\,.

Die Quadratwurzeln von ${}1$ bzw. ${}4$ sind ${}1$ bzw. ${}2$ und das arithmetische Mittel davon ist ${}{\frac {3}{2}}$ . Wegen

{}{\frac {3}{2}}={\frac {27}{18}}<{\frac {28}{18}}={\frac {14}{9}}\,

ist dies kleiner als ${}{\frac {14}{9}}$ . Insgesamt gilt also

{}{\frac {3}{2}}<{\frac {14}{9}}<{\sqrt {\frac {5}{2}}}\,.