Quadratwurzel aus 5/Unter-und oberhalb/Beispiel

Wir wissen nach Fakt, dass es keine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich ${}5$ ist. Wir können aber für jede rationale Zahl ${}x$ einfach bestimmen, ob ihr Quadrat ${}x^{2}$ größer oder kleiner als ${}5$ ist, und das Ergebnis können wir dann so interpretieren, dass ${}x$ kleiner oder größer als die nicht vorhandene Zahl ${}{\sqrt {5}}$ ist (wir beschränken uns im Moment auf positive rationale Zahlen). Für ${}x=2$ ist ${}2^{2}=4<5$ zu klein und für ${}x=3$ ist ${}3^{2}=9>5$ zu groß. Damit müssen wir uns über die rationalen Zahlen, die kleiner als ${}2$ oder aber größer als ${}3$ sind, keine Gedanken mehr machen. Aus ${}y\geq x\geq 0$ folgt aus den Anordungseigenschaften direkt ${}y^{2}\geq x^{2}$, siehe Fakt  (8). Man muss also nur Rechnungen für rationale Zahlen zwischen ${}2$ und ${}3$ durchführen. Nehmen wir beispielsweise ${}x={\frac {7}{3}}$, so ist

${}{\left({\frac {7}{3}}\right)}^{2}={\frac {49}{9}}>5\,.$

Nehmen wir ${}x={\frac {9}{4}}$, so ist

${}{\left({\frac {9}{4}}\right)}^{2}={\frac {81}{16}}>5\,.$

Bei ${}x={\frac {11}{5}}$ ist

${}{\left({\frac {11}{5}}\right)}^{2}={\frac {121}{25}}<5\,.$

Wir wissen also, dass alle rationalen Zahlen oberhalb von ${}{\frac {9}{4}}$ (wegen ${}{\frac {7}{3}}>{\frac {9}{4}}$ ist dies die bessere Grenze) zu groß und alle rationalen Zahlen unterhalb von ${}{\frac {11}{5}}$ zu klein sind, wir müssen also nur noch Zahlen zwischen ${}{\frac {11}{5}}=2,2$ und ${}{\frac {9}{4}}=2,25$ überprüfen. Das vermittelt eine gewisse Größenvorstellung für die „gesuchte Zahl“ ${}{\sqrt {5}}$, es gibt aber unendlich viele Zahlen, die ebenfalls zwischen diesen beiden Zahlen liegen. Wenn wir endlich viele Zahlen dahingehend überprüft haben, ob ihr Quadrat kleiner oder größer als ${}5$ ist, so sind wir stets in einer vergleichbaren Situation, dass die Zahlen zwar einen „kleinen“ Bereich eingrenzen, es aber darin unendlich viele Zahlen gibt.

Ein anderer Ansatz ist es, direkt die Mengen

${}K={\left\{x\in \mathbb {Q} _{\geq 0}\mid x^{2}<5\right\}}\,$

und

${}G={\left\{x\in \mathbb {Q} _{\geq 0}\mid x^{2}>5\right\}}\,$

zu betrachten. Dies ist eine Zerlegung von ${}\mathbb {Q} _{\geq 0}$ in zwei disjunkte Teilmengen. Dieses Paar (bzw. eine Menge davon, da sie ja die andere als ihr Komplement festlegt) ist eine exakte Beschreibung der durch ${}{\sqrt {5}}$ in den rationalen Zahlen bedingten Lücke, der Spur, die ${}{\sqrt {5}}$ auf den rationalen Zahlen hinterlässt. Rechnerisch wurde zwar nichts gewonnen, da man nach wie vor für jedes einzelne ${}x$ durch eine Rechnung überprüfen muss, ob ${}x$ zu ${}K$ oder zu ${}G$ gehört. Es ist aber immerhin ein mathematisches Objekt gefunden, das ${}{\sqrt {5}}$ eindeutig beschreibt. Der Preis ist, dass dieses mathematische Objekt in der Potenzmenge der rationalen Zahlen angesiedelt und somit sehr abstrakt ist. Es handelt sich um einen sogenannten Dedekindschen Schnitt.