Quadriken/Glatter Durchschnitt/Geschlecht 1/Bemerkung

Es seien ${}F$ und ${}G$ zwei Quadriken in vier Variablen, also homogene Polynome vom Grad ${}2$. Jede definiert eine projektive Fläche

${}V_{+}(F),V_{+}(G)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{3}\,$

im projektiven Raum. Wenn die beiden Flächen keine Komponente gemeinsam haben, so ist ihr Durchschnitt

${}C=V_{+}(F,G)=V_{+}(F)\cap V_{+}(G)\,$

eindimensional, also eine projektive Kurve, die im projektiven Raum liegt. Wenn beide Flächen irreduzibel sind, so bedeutet die Komponentenbedingung einfach, dass die Flächen verschieden sind. Die Kurve ${}C$ kann wieder glatt sein oder Singularitäten besitzen, was wiederum angelehnt an den Satz über implizite Abbildungen durch ein Jacobikriterium definiert wird, siehe Definition. Wenn nun der Durchschnitt ${}C$ der beiden Quadriken glatt ist, so kann man relativ einfach zeigen, dass das Geschlecht dieser Raumkurve gleich ${}1$. Völlig andere Fragen sind es, ob es für eine solche Kurve auch eine ebene kubische Realisierung gibt und ob es darauf eine Gruppenstruktur gibt.

In dieser Situation zeigt sich eine typische Strategie der algebraischen Geometrie. Zuerst ordnet man den irgendwie gegegeben geometrischen Objekten Invarianten zu. Diese sind zumeist kohomologischer Natur, entscheidend ist, dass diese dem Objekt intrinsisch zukommen und unabhängig von der gewählten Einbettung sind. Sodann fragt man sich in einem davon unabhängigen Schritt, welche Eigenschaften durch die Invarianten festgelegt sind und wie man Objekte mit fixierten Invarianten möglicht einfach realisieren kann.

Im Beispiel vom Durchschnitt von zwei Quadriken erhält man also, dass das kohomologische Geschlecht ${}1$ ist (was man ebenso und unabhängig von der Serre-Dualität für das differentielle Geschlecht beweisen kann). Dann fragt man sich, welche Schlussfolgerungen für Kurven, die das Geschlecht ${}1$ besitzen, erzielen kann. Hier ist insbesondere die Auswirkung des Geschlechtes auf die Anzahl von Schnitten von Geradenbündeln und auf die Divisorenklassegruppe der Kurve wichtig. In der Tat ergibt sich, dass man jede Kurve vom Geschlecht ${}1$ kubisch realisieren kann und es darauf eine Gruppenstruktur gibt.