Quartisches Polynom/Gerade/Nullstellen/Flächenberechnung/Aufgabe/Lösung

1. Wir schreiben ${}y=x^{2}$ und lösen die Gleichung

   ${}y^{2}-3y-4=0\,.$

   Diese führt auf

   ${}y=4,-1\,$

   und damit sind die reellen Nullstellen von ${}P$ gleich ${}x_{1,2}=\pm 2$.

2. Die Ableitung von ${}P$ ist

   ${}4x^{3}-6x=4x{\left(x^{2}-{\frac {3}{2}}\right)}=4x{\left(x-{\sqrt {\frac {3}{2}}}\right)}{\left(x+{\sqrt {\frac {3}{2}}}\right)}\,.$

   Die Ableitung besitzt also drei Nullstellen bei

   ${}x=0,{\sqrt {\frac {3}{2}}},-{\sqrt {\frac {3}{2}}}\,.$

   Die zweite Ableitung ist ${}12x^{2}-6=6{\left(2x^{2}-1\right)}$ und besitzt im Nullpunkt einen negativen Wert und in ${}\pm {\sqrt {\frac {3}{2}}}$ einen positiven Wert. Deshalb liegt in ${}x=0$ ein isoliertes lokales Maximum und in ${}x=\pm {\sqrt {\frac {3}{2}}}$ liegen isolierte lokale Minima vor. Für ${}x$ gegen ${}\pm \infty$ geht die Funktion gegen ${}+\infty$, daher sind die beiden Minima global mit dem gleichen Wert (wegen der Symmetrie) und das lokale Maximum ist nicht global.

3. Da es zwischen ${}-2$ und ${}2$ keine Nullstelle gibt, verläuft der Graph in diesem Intervall unterhalb der ${}x$-Achse. Der eingeschlossene Flächeninhalt ist der Betrag des bestimmten Integrals

   ${}{\begin{aligned}\int _{-2}^{2}x^{4}-3x^{2}-4dx&=\left({\frac {1}{5}}x^{5}-x^{3}-4x\right)|_{-2}^{2}\\&=2{\left({\frac {1}{5}}\cdot 32-8-8\right)}\\&=-{\frac {96}{5}},\end{aligned}}$

   also gleich ${}{\frac {96}{5}}$.

Zur gelösten Aufgabe