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R+ nach R+/Invertierung links und rechts/Logarithmus und Exponentialfunktion/Aufgabe/Lösung
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R+ nach R+/Invertierung links und rechts/Logarithmus und Exponentialfunktion/Aufgabe
Es ist
f
(
x
)
=
exp
(
h
(
ln
x
)
)
=
exp
(
c
ln
x
)
=
x
c
.
{\displaystyle {}f(x)=\exp \left(h{\left(\ln x\right)}\right)=\exp \left(c\ln x\right)=x^{c}\,.}
Es ist unter Verwendung der Funktionalgleichungen für Logarithmus und Exponentialfunktion und da
h
{\displaystyle {}h}
ungerade ist,
f
(
1
x
)
=
exp
(
h
(
ln
(
1
x
)
)
)
=
exp
(
h
(
−
ln
x
)
)
=
exp
(
−
h
(
ln
x
)
)
=
1
exp
(
h
(
ln
x
)
)
=
1
f
(
x
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}f{\left({\frac {1}{x}}\right)}&=\exp \left(h{\left(\ln \left({\frac {1}{x}}\right)\right)}\right)\\&=\exp \left(h{\left(-\ln x\right)}\right)\\&=\exp \left(-h{\left(\ln x\right)}\right)\\&={\frac {1}{\exp \left(h{\left(\ln x\right)}\right)}}\\&={\frac {1}{f(x)}}.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe