R^3/Drehung/Definition

Drehung

Die Drehungen im ${}\mathbb {R} ^{3}$ sind genau die längenerhaltenden linearen Abbildungen, die auch die Orientierung gleichlassen (also nicht spiegeln).

Wenn der Vektor der Länge 1 ${}n={\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}$ die Drehachse (und Drehrichtung) definiert und ${}\alpha$ den Winkel, dann ist die zugehörige Drehmatrix bezüglich der Standardbasis folgendermaßen gegeben:

$R_{n}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha +n_{1}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)&n_{1}n_{2}\left(1-\cos \alpha \right)-n_{3}\sin \alpha &n_{1}n_{3}\left(1-\cos \alpha \right)+n_{2}\sin \alpha \\n_{2}n_{1}\left(1-\cos \alpha \right)+n_{3}\sin \alpha &\cos \alpha +n_{2}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)&n_{2}n_{3}\left(1-\cos \alpha \right)-n_{1}\sin \alpha \\n_{3}n_{1}\left(1-\cos \alpha \right)-n_{2}\sin \alpha &n_{3}n_{2}\left(1-\cos \alpha \right)+n_{1}\sin \alpha &\cos \alpha +n_{3}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)\end{pmatrix}}.$