R^n/Abgeschlossene Teilmenge/Abzählbare Überpflasterung/Bemerkung

Eine abgeschlossene, aber nicht beschränkte Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ wird nicht durch endlich viele Quader überpflastert. Diese Mengen haben aber dennoch ein sinnvolles Volumen (das unendlich sein kann) und es gilt auch eine entsprechende Aussage zu Fakt, wobei man allerdings als Indexmenge die natürlichen Zahlen zulassen muss. Zu einer Überpflasterung ${}T\subseteq \bigcup _{i\in \mathbb {N} }Q_{i}$ muss man ${}\sum _{i\in \mathbb {N} }\lambda ^{n}(Q_{i})$ als Reihe von nichtnegativen Zahlen interpretieren. Da wir uns für das Infimum interessieren, sind hierbei nur die konvergenten Reihen relevant (wenn es keine Überpflasterung mit endlicher Volumensumme gibt, so besitzt die Teilmenge das Volumen ${}\infty$). Diese Betrachtung ist beispielsweise dann nötig, wenn man uneigentliche Integrale als Flächeninhalt eines (unbeschränkten) Subgraphen verstehen möchte.