Das
Borel-Lebesgue-Maß
erfüllt nach
Fakt
diese Bedingungen. Es sei ein solches Maß. Nach
Fakt
ist es egal, ob diese Bedingung an den abgeschlossenen, den offenen oder einen halboffenen Einheitswürfel gestellt wird. Wir werden durchgehend mit rechtsseitig offenen Quadern arbeiten. Da der durch abzählbar viele Verschiebungen des Einheitswürfels überdeckt wird, die wegen der Translationsinvarianz von alle das gleiche Maß besitzen, ist
-endlich.
Wir müssen zeigen, dass mit übereinstimmt, wobei es aufgrund des
Eindeutigkeitssatzes
genügt, die Gleichheit auf einem durchschnittsstabilen Erzeugendensystem für die Borelmengen nachzuweisen. Ein solches System bilden die Quader der Form mit
rationalen
Ecken. Wegen der
Translationsinvarianz
von besitzt ein solcher Quader das gleiche Maß wie der verschobene Quader . Wir schreiben einen solchen Quader unter Verwendung eines Hauptnenners als
mit
.
Dieser Quader setzt sich disjunkt aus Quadern
(nämlich mit
)
zusammen, die alle das gleiche -Maß haben, da sie ineinander verschoben werden können. Das -Maß des Quaders ist also das -fache des -Maßes des Quaders
.
Da sich der Einheitswürfel aus verschobenen Kopien dieses kleineren Würfels zusammensetzt, muss
und damit
-
sein.