R^n/Borel-Mengen/Was gehört dazu/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt aus der Definition der Borel-Mengen. (2) folgt aus (1), da eine ${}\sigma$-Algebra mit einer Menge auch stets deren Komplement enthält, und die abgeschlossenen Mengen die Komplemente der offenen Mengen sind. (3). Einpunktige Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ sind abgeschlossen und daher Borel-Mengen. Damit ist auch jede abzählbare Punktmenge als eine abzählbare Vereinigung von einpunktigen Teilmengen eine Borel-Menge. (4) und (5) sind Spezialfälle von (1) und (2).

Zur bewiesenen Aussage