R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Monotonie und endliche Vereinigung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir argumentieren über die Überpflasterungseigenschaft im Sinne von Fakt. Die Eigenschaft (1) ist klar, da eine Quaderüberpflasterung der größeren Menge insbesondere eine Überpflasterung der kleineren Menge ist.

Zum Beweis von (2) können wir uns auf zwei kompakte Teilmengen ${}S$ und ${}T$ beschränken. Nehmen wir an, dass die Aussage nicht stimmt, sei also

${}\lambda ^{n}(S\cup T)>\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)\,.$

Es sei ${}\epsilon >0$ die Differenz. Wir können das Volumen von ${}S$ durch eine Quaderüberpflasterung ${}Q_{i}$, ${}i\in I$, bis auf einen Fehler ${}\leq {\frac {\epsilon }{3}}$ und ebenso das Volumen von ${}T$ durch eine Quaderüberpflasterung ${}P_{j}$, ${}j\in J$, bis auf einen Fehler ${}\leq {\frac {\epsilon }{3}}$ approximieren. Die Vereinigung der beiden Quaderüberpflasterungen ist eine Quaderüberpflasterung von ${}S\cup T$ mit einem Fehler von maximal ${}{\frac {2\epsilon }{3}}$. Das ergibt einen Widerspruch.

(3) folgt direkt aus (1) und (2).

Zur bewiesenen Aussage