R^n/Offene Menge/Levi-Civita-Zusammenhang/Trivial/Fakt

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge, die mit der induzierten riemannschen Struktur des ${}\mathbb {R} ^{n}$ versehen sei.

Dann ist der Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}U$ trivial. Insbesondere gelten die folgenden Aussagen.

1. Die Christoffelsymbole sind

   ${}\Gamma _{ij}^{k}=0\,$

   für alle ${}i,j,k$.

2. Es ist

   ${}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=0\,$

   für die Standardvektorfelder ${}\partial _{i}$.

3. Es ist

   ${}\nabla _{\partial _{i}}{\left(\sum _{j=1}^{n}f_{j}\partial _{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}\partial _{i}(f_{j})\partial _{j}\,$

   für differenzierbare Funktionen ${}f_{j}$.

4. Zu einem Vektorfeld ${}V$ und einem differenzierbaren Vektorfeld ${}W$ auf ${}U$ ist

   ${}(\nabla _{V}W)(P)={\left(DW\right)}_{P}{\left(V(P)\right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen