Riemannsche Mannigfaltigkeit/Offene Menge/Levi-Civita-Zusammenhang/Christoffelsymbole/Definition

Levi-Civita-Zusammenhang auf offener Menge

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen ${}{\left(g_{ij}\right)}$ gegeben mit der inversen Matrix ${}{\left(g^{kl}\right)}$. Man nennt den auf ${}U$ durch die Christoffelsymbole

${}\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{l=1}^{n}g^{kl}(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij})\,$

festgelegten linearen Zusammenhang auf ${}TU=U\times \mathbb {R} ^{n}$ den Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}U$.