R^n/Orthogonales Komplement/Beispiel

Es sei ${}V=\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt versehen. Zum eindimensionalen Untervektorraum ${}\mathbb {R} e_{i}$ zum Standardvektor ${}e_{i}$ besteht das orthogonale Komplement aus allen Vektoren ${}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{i-1}\\0\\x_{i+1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$, deren ${}i$-ter Eintrag ${}0$ ist. Zum eindimensionalen Untervektorraum ${}\mathbb {R} v$ zu einem Vektor

${}v={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\neq 0\,$

kann man das orthogonale Komplement bestimmen, indem man den Lösungsraum der linearen Gleichung

${}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\,$

bestimmt. Der Orthogonalraum

${}U=(\mathbb {R} v)^{\perp }={\left\{{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\mid a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\right\}}\,$

besitzt die Dimension ${}n-1$, es handelt sich also um eine sogenannte Hyperebene. Man nennt dann ${}v$ einen Normalenvektor für die Hyperebene ${}U$.

Zu einem Untervektorraum ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, der durch eine Basis (oder ein Erzeugendensystem) ${}v_{i}={\begin{pmatrix}a_{i1}\\\vdots \\a_{in}\end{pmatrix}}$, ${}i=1,\ldots ,k$, gegeben ist, bestimmt man das orthogonale Komplement als Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

${}A{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=0\,,$

wobei ${}A={\left(a_{ij}\right)}$ die aus den ${}v_{i}$ (als Zeilen) gebildete Matrix ist.