R^n/Riemannsche Untermannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Fakt

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, die mit der induzierten riemannschen Struktur versehen sei. Dann erfüllt der Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}Y$ die folgenden Eigenschaften.

1. u
2. Zu einem Vektorfeld ${}V$ und einem differenzierbaren Vektorfeld ${}W$ auf ${}Y$ ist

   ${}(\nabla _{V}W)(P)=\pi _{Y,P}\circ {\left(DW\right)}_{P}{\left(V(P)\right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen