Nehmen wir an, die Menge der reellen Zahlen sei
abzählbar,
dann ist insbesondere auch das
Einheitsintervall
abzählbar. Es sei also
-
eine
surjektive Abbildung.
Wir betrachten die reellen Zahlen als Ziffernfolgen im Dreiersystem: Jede reelle Zahl besitzt eine eindeutig bestimmte Darstellung als
Reihe
-
wobei die -te Nachkommaziffer ist und wobei nicht
fast alle
Ziffern gleich sind
(sonst hätte man keine Eindeutigkeit).
Wir definieren nun eine reelle Zahl durch mit
-
Wir behaupten, dass diese Zahl
nicht in der Aufzählung
vorkommt. Für jedes
ist nämlich
, da
sich nach Konstruktion von
an der
-ten Nachkommastelle unterscheidet. Also ist
doch nicht surjektiv.