Rationale Funktion/n/Variable/Rational rechtsäquivalent/Funktionenkörper/Aufgabe/Lösung

Wenn ${}F$ und ${}X$ rational rechtsäquivalent sind, so gibt es nichtleere Zariski-offene Mengen ${}U_{1}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und ${}U_{2}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und einen Isomorphismus

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

mit

${}F=X_{1}\circ \varphi \,.$

Ein solcher Isomorphismus induziert einen ${}K$-Körperautomorphismus

$\varphi ^{*}\colon K(X_{1},\ldots ,X_{n})\longrightarrow K(X_{1},\ldots ,X_{n}).$

Mit

${}F_{i}:=\varphi ^{*}(X_{i})\,$

für ${}i=2,\ldots ,n$. Wenn es umgekehrt rationale Funktionen ${}F_{2},\ldots ,F_{n}$ mit

${}K(F,F_{2},\ldots ,F_{n})=K(X_{1},\ldots ,X_{n})\,$

gibt, so betrachtet man den Einsetzungshomomorphismus

$\psi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K(X_{1},\ldots ,X_{n}),\,X_{i}\longmapsto F_{i}.$

Dieser ist injektiv, da er sich ja auf den Quotientenkörper links fortsetzt. Mit einem Hauptnenner ${}f$ der ${}F_{i}$ rührt diese Abbildung von einem ${}K$-Algebrahomomorphismus

$\psi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{f},\,X_{i}\longmapsto F_{i}$

her. Im Quotientenkörper gibt es Urbilder für die Variablen rechts, also rationale Funktionen ${}G_{1},\ldots ,G_{n}$ mit

${}\psi (G_{i})=X_{i}\,.$

Es sei ${}g$ ein Hauptnenner dieser ${}G_{i}$ und eines Urbildes von ${}f$. Damit ist die Abbildung

$\psi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{f\psi (g)}$

auch surjektiv.

Zur gelösten Aufgabe