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Rationale Funktion/x durch x^2+1/Taylorentwicklung/Aufgabe/Lösung
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Rationale Funktion/x durch x^2+1/Taylorentwicklung/Aufgabe
Nach der Quotientenregel ist
f
′
(
x
)
=
(
x
2
+
1
)
−
x
(
2
x
)
(
x
2
+
1
)
2
=
−
x
2
+
1
(
x
2
+
1
)
2
{\displaystyle {}f'(x)={\frac {(x^{2}+1)-x(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {-x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}}}\,}
und
f
′
′
(
x
)
=
−
2
x
(
x
2
+
1
)
2
−
4
(
1
−
x
2
)
(
x
2
+
1
)
(
x
2
+
1
)
4
.
{\displaystyle {}f^{\prime \prime }(x)={\frac {-2x(x^{2}+1)^{2}-4(1-x^{2})(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{4}}}\,.}
Es ist
f
(
1
)
=
1
2
,
{\displaystyle {}f(1)={\frac {1}{2}}\,,}
f
′
(
1
)
=
0
{\displaystyle {}f'(1)=0\,}
und
f
′
′
(
1
)
=
−
2
⋅
4
16
=
−
1
2
.
{\displaystyle {}f^{\prime \prime }(1)={\frac {-2\cdot 4}{16}}=-{\frac {1}{2}}\,.}
Somit ist das gesuchte Taylor-Polynom gleich
1
2
−
1
4
(
x
−
1
)
2
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}(x-1)^{2}.}
Zur gelösten Aufgabe
