Es liege eine periodische Ziffernentwicklung für die reelle Zahl
vor. Da sich die Eigenschaft, eine rationale Zahl zu sein, weder bei Multiplikation mit einer rationalen Zahl
noch bei Addition mit einer rationalen Zahl ändert, können wir sofort annehmen, dass die Ziffernentwicklung die Form
-
besitzt. Die dadurch definierte Zahl können wir als
-
auffassen, wobei die Einsen an der
-ten,
-ten u.s.w. Stelle stehen. Wir müssen uns also nur noch um periodische Ziffernentwicklungen von dieser speziellen Art kümmern. Wir betrachten also die Reihe
-
Nach
Fakt
konvergiert dies gegen
-

wobei jeweils

Neunen vorkommen. Diese Zahl ist also rational.